- Meetsysteem.
- Pa, al ski jij, ik slaap.
- Baas, neem een racecar, neem een Saab.
- ‘De mooie zeeman nam Anna mee’, zei oom Ed.
In het kader hiernaast zie je vier voorbeelden van palindromen, woorden of zinnen die van links naar rechts gelezen hetzelfde zijn als van rechts naar links. Ook getallen kunnen palindromen zijn, zoals 11 en 93839. Daarmee zijn leuke puzzels te bedenken die zelfs leiden tot serieus wiskundig onderzoek.
Begin met een positief geheel getal van ten minste twee cijfers, bijvoorbeeld 59. Tel er het getal bij op dat je krijgt door de cijfers achterstevoren op te schrijven. In dit geval krijg je dus 59 + 95 = 154. Doe hiermee weer hetzelfde, dus 154 + 451 = 605, en nog eens: 605 + 506 = 1111. Stop zodra je een palindroomgetal hebt. Met begingetal 64 is zo’n palindroom dus in drie stappen bereikt. Bij bijvoorbeeld 183 heb je vier stappen nodig: 183 + 381 = 564, 564 + 465 = 1029, 1029 + 9201 = 10230, 10230 + (0)3201 = 13431.
Het palindroomprobleem luidt als volgt: kom je met dit rekenrecept bij elk startgetal op den duur altijd bij een palindroomgetal? Een makkelijk te begrijpen vraag, maar tot op heden heeft niemand de vraag kunnen beantwoorden. Er zijn relatief kleine getallen waarvan we niet weten of er op een gegeven moment een palindroom wordt bereikt. Het kleinste hardnekkige getal is 196 – het palindroomprobleem wordt daarom soms ook 196-probleem genoemd. Omdat we van 196 niet weten of dit op den duur tot een palindroom leidt, geldt hetzelfde uiteraard voor 691, het omgekeerde van 196. In totaal zijn er dertien driecijferige getallen waarvan we niet weten hoe het afloopt. Naast 196 en 691 zijn dat 295 en 592, 394 en 493, 689 en 986, 788 en 887, 879 en 978, en 790.
Geschiedenis
Voor zover bekend dook het palindroomprobleem voor het eerst op in 1938, in een artikel getiteld ‘Sujets d’étude’ van Derrick Henry Lehmer, in Sphinx, een Franstalig Belgisch tijdschrift over recreatieve wiskunde dat heeft bestaan van 1931 tot 1939. Lehmer rekende – in die tijd natuurlijk zonder rekenmachine – met startgetal 196 niet minder dan 73 stappen door. Deze noeste arbeid leidde tot het 35-cijferige getal 45747 6603920132 8565933091 8416673654. Toen gaf hij het op. Tegenwoordig is het doorrekenen van 73 iteraties niet moeilijk meer. Een computerprogramma geeft met startgetal 196 na 73 stappen het volgende resultaat: 45747 6591819132 8565933092 7106673654. Blijkbaar had Lehmer onderweg ergens een rekenfoutje gemaakt.
In 1967 werd er opnieuw over het probleem geschreven, in het artikel ‘Palindromes by Addition’ door Charles W. Trigg, in Mathematics Magazine. En in 1979 verscheen de puzzel in een Japans tijdschrift. Maar echte bekendheid kreeg het 196-probleem dankzij de populaire column ‘Mathematical Games’ van Martin Gardner in Scientific American.
Wordt het 196-probleem ooit opgelost?
Vijf jaar geleden waren er al meer dan zeven miljoen stappen doorgerekend met startgetal 196. Het resultaat na zoveel iteraties is een getal van meer dan drie miljoen cijfers. En het is nog steeds geen palindroom. Gaat het er ooit nog van komen? Er zijn redenen om te geloven van niet.
Kijk eens hoeveel procent van alle natuurlijke getallen bestaande uit een vast aantal cijfers, een palindroomgetal is. Noteer de fractie palindromen dat uit n cijfers bestaat als p(n). Er geldt dat p(1) = 1, álle ééncijferige getallen zijn immers palindromen. Van de 90 tweecijferige getallen (10 tot en met 99) zijn er 9 een palindroom (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 en 99), dus p(2) = 0,1. Verder geldt dat p(3) = 0,1, p(4) = 0,01, p(5) = 0,01 en p(6) = 0,001.
Je kunt bewijzen dat als n even is, zeg n = 2k, geldt dat p(2k) = 1/10n. En als n oneven is, zeg n = 2k + 1, dan is p(2k + 1) = 1/10n. Dus als het aantal cijfers van een getal met twee toeneemt, neemt de fractie palindromen af met een factor 10. De huidige stand van het getal 196 is, zoals we al schreven, een getal van meer dan drie miljoen cijfers (na meer dan zeven miljoen iteraties). Van alle drie-miljoen-cijferige getallen is de fractie palindromen 1/101.500.000: bijna nul. Maar toch: palindromen bestaan, en dus staat de deur nog altijd op een kier: het is niet onmogelijk dat 196 op een goed moment op een palindroom uitkomt.
Lychrel-getallen
Een Lychrel-getal is een natuurlijk getal dat nooit uitkomt op een palindroom, met het proces ‘getal omdraaien en optellen’, zoals beschreven in dit artikel. De naam Lychrel werd bedacht door Wade Van Landingham en is niet helemaal een anagram van de naam van zijn vriendin Cheryl. Van geen enkel getal is zeker dat het een Lychrel-getal is; het palindroomprobleem is immers een open probleem in de getaltheorie. Maar er zijn wel getallen waarvan wordt vermoed dat die ‘Lychrel’ zijn; het kleinste is 196.
Wetenschap of recreatie?
Waarom maken wiskundigen zich druk om zulke rekensommetjes? Natuurlijk is het palindroomprobleem voor veel wiskundigen een recreatieve bezigheid, maar er is meer. De moderne wiskunde is een bouwwerk dat uit meerdere lagen bestaat. Achter een ogenschijnlijk onzinnig vraagstuk, zoals het 196-probleem maar bijvoorbeeld ook het Collatz-probleem, gaat vaak een wereld van diepe ideeën schuil. Als het probleem wordt opgelost, kan dat gevolgen hebben voor andere lagen uit het wiskundig bouwwerk. En dat dat hele bouwwerk nuttig is voor onze welvaart, is onomstotelijk vastgesteld: het hele internet zou er zonder de grafentheorie niet zijn, het beveiligen van websites is mogelijk dankzij priemgetallen, en GPS-systemen hebben we dankzij de relativiteitstheorie.
