In 1988 promoveerde de wiskundige Matthijs Coster, redacteur van het tijdschrift Pythagoras. Een van zijn stellingen destijds luidde: De Grieken hadden vele generaties wiskundigen en natuurkundigen moeite kunnen besparen door π te definiëren als het quotiënt van de omtrek van een cirkel en de bijbehorende straal.
Coster is niet de enige die met de gekozen definitie van π (pi) moeite heeft. In 2001 verscheen in The Mathematical Intelligencer het artikel π is wrong! van Bob Palais. En exact één jaar geleden publiceerde Michael Hartl het tau-manifest.
Coster, Palais en Hartl hebben een punt. π is niet de meest logische keuze voor de cirkelconstante. In het tau-manifest komt Hartl met een goed alternatief: τ (tau), ofwel het dubbele van π.
Pi en tau
π is een van de belangrijkste wiskundige constantes, zo niet dé belangrijkste. Het is gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel:
π = omtrek/diameter = 3,14159265…
Een cirkel is per definitie de verzameling van alle punten die op gelijke afstand – de straal – van een vastgekozen punt liggen. Een natuurlijkere definitie voor de cirkelconstante zou daarom eigenlijk zijn: omtrek gedeeld door straal, in plaats van omtrek gedeeld door diameter.
Omdat de diameter gelijk is aan twee keer de straal, is de constante omtrek/straal gelijk aan 2π. Michael Hartl stelt voor om deze constante aan te duiden met τ en π zo snel mogelijk te vergeten. Dus:
τ = omtrek/straal = 6,28318530…
Radialen
Hoeken kun je meten in graden, maar wiskundigen gebruiken meestal de radiaal als hoekeenheid. Op een cirkel met straal 1 is een hoek in radialen, gemeten vanuit het middelpunt van de cirkel, per definitie gelijk aan de lengte van de bijbehorende cirkelboog. Een hoek van 90 graden komt dus overeen met een half π radialen, want de bijbehorende booglengte op een cirkel met straal 1 is ½π. En daar heb je het gedonder al: een kwart cirkel is een half π radialen. En een halve cirkel is een heel π radialen. Zie het middelste plaatje hieronder. Kan het verwarrender? Met τ wordt alles veel logischer, zoals uit het rechter plaatje blijkt. τ komt precies overeen met 1 draaiing. Draai je een twaalfde deel, dan komt dat overeen met τ/12. Een stuk handiger dan π/6, of niet soms?
Lelijke formules
Intrigerend aan π, of beter gezegd 2π, is dat dit getal zich niet beperkt tot de (cirkel)meetkunde. De constante is alomtegenwoordig: in heel veel bekende formules, in tal van takken van de wiskunde, duikt 2π op. Hieronder zie je er een paar (in het rode kader). Het gaat hier om een integraal uitgedrukt in poolcoördinaten, de kansdichtheid van de normale verdeling, een Fouriertransformatie, Cauchy’s integraalformule en de waarden van de Riemann-zeta-functie voor positieve even getallen. Rechts (in het groene kader) staat steeds het bijbehorende equivalent waarbij 2π is vervangen door τ. We moeten toegeven: die formules zien er fraaier uit.
De mooiste formule ooit
Met enige regelmaat verschijnen er lijstjes met ‘de mooiste formule aller tijden’. Wiskundeliefhebbers zijn het er meestal over eens dat de identiteit van Euler, eπi = –1, de allermooiste is die de wiskunde te bieden heeft.
Dat minteken wordt echter zo lelijk gevonden, dat de formule meestal zo wordt geschreven: eπi + 1 = 0, waarbij dan meteen wordt opgemerkt dat deze formule de vijf belangrijkste constantes bevat: 0, 1, e, i en π. Een uitvlucht om van die min af te komen. Gebruik τ in plaats van π en de min verdwijnt ook, want eτi = 1. Kan het mooier?
Cirkeloppervlak: de genadeslag?
De definitie van τ is zó natuurlijk, zijn betekenis zó transparant. Is er dan geen enkel voorbeeld te bedenken waarbij π wél handiger is dan τ? Ja, denk je nu, de oppervlakte van een cirkel! Een cirkel met straal r heeft oppervlakte πr2. Hier zien we π verschijnen in een belangrijke en veelgebruikte formule, zónder die ellendige factor 2 ervoor. Is dat dan een reden om toch maar van τ af te zien? Nee, integendeel, juist hier is de extra factor van ½ die ontstaat als we de formule met τ schrijven, meer dan welkom! Bekijk maar eens het volgende lijstje van formules:
y = ½gt2 (afgelegde afstand),
Ep = ½kx2 (potentiële energie),
Ek = ½mv2 (kinetische energie).
Net als de formule voor de oppervlakte van een cirkel zijn dit allemaal kwadratische formules. Dus
O = ½τr2 (oppervlakte cirkel)
past prima in dit rijtje thuis, veel beter dan O = πr2.
28 juni: taudag
14 maart is het pidag. Dat komt zo: 14 maart kun je schrijven als 14/3 zoals wij doen, maar ook als 3/14 zoals ze in Amerika doen, of liever nog: 3.14. En zie, daar staat de waarde van π in twee decimalen. Om dezelfde reden kunnen we 28 juni als taudag bestempelen. Een veel mooiere datum dan 14 maart, natuurlijk. Immers, 6 en 28 de eerste twee perfecte getallen, dus 6.28 (op z’n Amerikaans) is een perfecte dag. Bovendien is het op 28 juni gemiddeld genomen mooier weer voor festiviteiten. Dus: gooi je T-shirt met π maar weg, en bestel het coole τ-shirt. Daarmee kun je voor de dag komen!
Dit logo gebruikt Google op pidag. Het wordt hoog tijd dat de Google-ontwerpers zich over een logo gaan buigen ter ere van τ.
Waarom τ?
Waarom de letter τ? Daar zijn een paar redenen voor. Ten eerste is Eulers indentiteit, eτi = 1, een tautologie. In wezen is élke wiskundige stelling een tautologie, maar vooruit: omdat Eulers identiteit als de ‘mooiste formule allertijden’ is bestempeld, gaat het hier wel om een hele bijzondere tautologie. Een tweede reden is dat τ typografisch op π lijkt, maar toch zonder dat er verwarring ontstaat. Meer redenen zijn te vinden op de website van het tau-manifest.
Tau beweegt door yin en yang. Van 0 tot ½τ is er een beweging door yang (wit, licht), daarna is er een beweging door yin (zwart, donker) tot je weer bij τ uitkomt. Gebruik je π in plaats van τ, dan is dat zoiets als yang zonder yin. Onvolmaakt dus.
"
