De eenvoudige maar verrassende vuistregel, voor het eerst waargenomen door Leonardo da Vinci 500 jaar geleden, geldt voor bijna alle soorten bomen. Grafische kunstenaars maken van deze regel dankbaar gebruik om realistische computergegenereerde bomen te tekenen.
De regel zegt dat als een boomstam zich splitst in twee takken, de totale doorsnede van die twee takken qua oppervlak even groot is als de doorsnede van de stam. En ook als die twee takken zich op hun beurt weer opsplitsen in twee dunnere takken, is de gezamenlijke oppervlakte van de doorsnedes van die vier takken opnieuw gelijk aan de oppervlakte van de doorsnede van de stam. En ga zo maar door. Met andere woorden: als we een boom samenpersen tot één massief geheel, maar wel zó dat elk punt van de boom op dezelfde hoogte blijft, dan ontstaat er één grote cilindervorm.
Rechts: een computergegenereerde fractalboom. Afbeelding: © Christophe Eloy / University of Provence
In formulevorm zegt de regel van Leonardo da Vinci dat als een tak met diameter D splitst in een willekeurig aantal, zeg n, takken met diameters d1, d2, …, dn, het volgende geldt: D2 = d12 + d22 + … + dn2. In deze formule staan kwadraten van diameters, omdat het om oppervlaktes gaat; vergelijk de formule πr2 voor de oppervlakte van een cirkel met straal r.
In werkelijkheid zijn de exponenten die in bovenstaande formule voorkomen, niet altijd exact 2, maar een waarde tussen 1,8 en 2,3. Dit varieert per soort boom en is afhankelijk van de vorm. Afgezien van deze kleine verschillen geldt de formule voor vrijwel alle bomen.
De verklaring
Biologen hebben lange tijd gedacht dat Da Vinci’s formule te maken heeft met de manier waarop bomen water via hun wortels in zich opnemen en naar hun bladeren voeren. Maar Christophe Eloy, natuurkundige van de universiteit van Provence en tijdelijk verbonden aan de universiteit van Californië, denkt aan iets anders. Hij gelooft niet dat het te maken heeft met de manier waarop de bladeren van water worden voorzien, maar dat het afhangt van de manier waarop de bladeren wind vangen als het hard waait.
Eloy maakte een wiskundig model waarbij hij bomen modelleert als fractals. Fractals zijn wiskundige figuren die zichzelf op steeds kleinere schaal herhalen – de meeste bomen hebben bij goede benadering een fractalstructuur. Eloys model werd op de proef gesteld in een virtuele windtunnel. Hij bepaalde wat de diameter van elke tak moet zijn, opdat de kans op het afbreken bij een hoge windkracht klein blijft. De simulatie bleek precies Da Vinci’s regel op te leveren.
Eloys bevindingen worden binnenkort gepubliceerd in Physical Review Letters. Wetenschappers hopen dat ze met verder onderzoek naar Da Vinci’s regel meer te weten komen over de structuur van bossen, de evolutie van de bomen en schade die door wind wordt veroorzaakt.
Zie ook:
