Al eeuwenlang proberen de knapste wiskundekoppen grip te krijgen op de zogeheten partitiefunctie. Deze functie geeft aan op hoeveel manieren een aantal knikkers kan worden opgedeeld in groepjes. Zo kun je 5 knikkers bijvoorbeeld verdelen in vier groepjes: Ă©Ă©n groepje van 2 en drie groepjes van 1. Als som kun je dit schrijven als 5 = 2 + 1 + 1 + 1. Een andere partitie is 5 = 3 + 2 (twee groepjes). Ook 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (vijf groepjes) en 5 = 5 (Ă©Ă©n groepje) zijn partities. In totaal zijn er 7 partities van 5; je ziet ze in de figuur hiernaast. We noteren dat als p(5) = 7.
In het algemeen geven we het aantal partities van n aan met p(n). De rij partitiegetallen is de rij p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) enzovoorts. Die rij ziet er zo uit: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, âŠ. De getallen in die rij worden al snel ongelofelijk groot, zoals figuur 2 laat zien. Zo is p(20) = 627 en p(100) is al meer dan 190 miljoen.
Grote namen als Euler en Ramanujan hebben diepe inzichten verkregen in de theorie van partities. Hoewel zij met hun berekeningen veel vragen konden beantwoorden, riepen hun berekeningen uiteindelijk nog meer vragen op, waarop zij het antwoord schuldig moesten blijven.
Wiskundige Ken Ono heeft met een aantal collegaâs nieuwe grote vorderingen gemaakt op het gebied van partities. Het team onder leiding van Ono wist te bewijzen dat de partitiegetallen zich in zekere zin gedragen als fractals, een resultaat dat niemand eerder voor mogelijk had gehouden. Zij hebben deelbaarheidseigenschappen van partities ontrafeld en een theorie ontwikkeld die de âoneindig herhalendeâ structuur verklaart. Bovendien hebben ze de eerste eindige formule opgesteld om partitiegetallen te berekenen. âAdembenemende doorbrakenâ, noemt George Andrews, professor aan de Pennsylvania State University en voorzitter van de American Mathematical Society, de resultaten.
âWe hebben bewezen dat partitiegetallen een âfractale structuurâ hebben voor elk priemgetal. Deze getallen zijn âzelfherhalendâ in a shocking wayâ, aldus Ono. âMet onze methode hebben we een antwoord gevonden op diverse vragen die tot nu toe nog open stonden.â Ongetwijfeld zullen de nieuwe resultaten leiden tot veranderingen in hoe wiskundigen partities bestuderen.
Ono, professor aan zowel Emory en de universiteit van Wisconsin in Madison, leidde een team bestaande uit Jan Bruinier van de Technische Universiteit van Darmstadt in Duitsland, Amanda Folsom van Yale University, en Zach Kent, fellow aan Emory.
Leonhard Euler (1707â1783).
Geschiedenis
Het werk van de achttiende eeuwse wiskundige Leonhard Euler leidde tot de eerste recursieve techniek voor het berekenen van partitiegetallen. De methode was echter langzaam en, in een tijd zonder computers, onpraktisch voor grote aantallen. Honderdvijftig jaar lang kon de methode alleen toegepast worden om de eerste 200 partitiegetallen te berekenen.
In het begin van de twintigste eeuw werden nieuwe resultaten geboekt door de wiskundigen Srinivasa Ramanujan en G.H. Hardy. Met hun methode, de cirkelmethode, konden grotere partitiegetallen uitgerekend worden. Zij moesten echter genoegen nemen met een benadering. Het lukte hen niet om een formule te vinden die het exacte aantal partities van een groot getal kan berekenen.
In een van zijn notebooks schreef Ramanujan in 1919: âSchijnbaar zijn er overeenkomstige eigenschappen waarin de moduli van partitiegetallen machten van een van de priemgetallen 5, 7 of 11 zijn⊠En die eigenschappen zijn er niet voor andere priemgetallen.â Een jaar later overleed Ramanujan, en de wiskundewereld bleef zitten met een boel ondoorgrondelijke aantekeningen, waaronder deze.
In 1937 werd een nieuwe grote stap voorwaarts gezet. In dat jaar vond Hans Rademacher een exacte formule om partitiegetallen te berekenen. Hoewel de methode een grote verbetering was ten opzichte van de exacte, maar trage formule van Euler, had ook deze formule zo zijn beperkingen: er moesten oneindig veel getallen met oneindig veel decimalen bij elkaar opgeteld worden. Een klus waarvan niemand vrolijk werd.
Al wandelend door het bos kregen Ken Ono (links) en Zach Kent hun eerste eureka-moment. Afbeelding: © esciencecommons
Eureka in het bos
In de daaropvolgende decennia werden opnieuw diepe inzichten verkregen, maar die staan nu alle in de schaduw van de doorbraak van Ono en zijn collegaâs. Maandenlang heeft het team van Ono eraan gewerkt. âAlles wat we probeerden, bleek niet te werkenâ, aldus Ono. Een eureka moment kwam in september vorig jaar. Ono en Kent wandelden door de bossen van Tallulah Falls in de Amerikaanse staat Georgia. âWe stonden op een grote rots, keken uit over de vallei en hoorden de waterval, toen we ons realiseerden dat partitiegetallen een fractale structuur hebbenâ, zegt Ono. âAllebei begonnen we te lachen.â
Ono en Kent keken uit over deze vallei, toen ze zich plotseling realiseerden dat partitiegetallen een âfractale structuurâ bezitten. Afbeelding: © Zach Kent, esciencecommons
De term fractal werd bedacht door Benoßt Mandelbrot. Hij doelde hiermee op een figuur die oneindig gedetailleerd is en op elk niveau gelijk is aan de oorspronkelijke figuur: een fractal bestaat in feite uit oneindige gelijkenissen van zichzelf. Mandelbrot nam zelf als voorbeeld graag een bloemkool, die is opgebouwd uit roosjes die elk de vorm van een bloemkool hebben. De roosjes zijn op hun beurt wéér opgebouwd uit bloemkoolvormige delen.
De wandeling van Ono en Kent leidde tot een nieuwe klasse van fractals. De mysterieuze zin van Ramanujan kan verklaard worden met behulp van hun âfractaltheorieâ. Bovendien toonden de wiskundigen aan dat de deelbaarheidseigenschappen van partitiegetallen een âfractale structuurâ hebben voor elk priemgetal vanaf 5. De rijen zijn periodiek; ze herhalen zichzelf om de zoveel tijd. âHet is alsof je inzoomt op de Mandelbrotverzamelingâ, zegt Ono, doelend op de beroemde âkevervormigeâ fractal van Mandelbrot (zie het Youtube-filmpje hieronder).
