Terwijl hij twee ouderwetse overheadsheets met identieke vlakvullingen over elkaar heen schuift, toont Sir Roger Penrose zijn publiek wat er zo bijzonder is aan de regelmaat van een vlakvulling. Liggen de geometrische figuren op de bovenste sheet niet precies op dezelfde figuren van de sheet eronder, dan zie je alleen een zwarte brij van lijntjes. Maar terwijl Penrose de sheets voorzichtig over elkaar heen schuift, verschijnt er ineens een helder beeld: de vlakvullingen volgen precies elkaars regelmaat.
Roger Penrose op 14 mei tijdens zijn lezing in Leiden.
Penrose sprak op 14 mei ter gelegenheid van de introductie van het Platform Wiskunde Nederland over de schoonheid en de kracht van de meetkunde. Achteraf licht hij het belang van zijn wiskundige invalshoek nog eens toe in een interview. Zijn vrouw en zoontje zitten aan de tafel ernaast terwijl Penrose vertelt: “Ik denk dat de manier waarop de wereld in elkaar steekt deep down heel wiskundig is.”
De inhoud van de lezing die hij gaf, was haast representatief voor Penroses carrière: ook die begon met geometrische figuren en leidde via relativiteitstheorie naar het heelal en de oerknal. Allemaal met wiskunde als rode draad er doorheen.
Penrose werkte in zijn studententijd zelf aan meetkunde en vlakvullingen. Voor zijn plezier ontwikkelde hij ideeën die werden opgepikt door M.C. Escher, en uiteindelijk leidden tot twee van Eschers bekendste werken: Klimmen en dalen (1960) en Waterval (1961). Penrose ontdekte bovendien dat je met slechts twee figuren of tegels een vlakvulling (of betegeling) kunt maken die nooit horizontaal of verticaal in herhaling valt. Dit wordt de Penrosebetegeling genoemd. In 2007 ontdekten twee Amerikaanse fysici Islamitische mozaïeken met dergelijke patronen.
Een Penrosebetegeling is een vlakvulling met een speciale eigenschap: de betegeling is a-periodiek. Dat wil zeggen dat je een Penrosebetegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terechtkomt. Een betegeling met vierkanten of rechthoeken is wel periodiek: als je alles precies één vierkant of rechthoek naar rechts verschuift, is het patroon precies hetzelfde. Afbeelding: © Charles Haynes
Later richtte Penrose zich op onder andere kosmologie en relativiteitstheorie. Hij kreeg een verscheidenheid aan prijzen voor zijn werk, schreef meerdere boeken waaronder één samen met Stephen Hawking, en werd geridderd tot Sir voor zijn bijdrage aan de wetenschap. Sir Roger Penrose is nu emeritus hoogleraar wiskunde in Oxford en emeritus fellow van Wadham College. Zijn boeken en artikelen bevatten regelmatig grote wetenschappelijke doorbraken, en vaak ook controversiële ideeën. Zo gaat Penroses laatste boek over zijn theorie dat er vóór de oerknal ook al tijd was, en een universum. “Dat is op dit moment nog heel controversieel,” vertelde Penrose in zijn lezing.
U bent begonnen in de wiskunde, en in het bijzonder de meetkunde. Wat vond u daar zo interessant aan?
“Ik heb me altijd al bezig gehouden met die vlakvullingen. In het begin gewoon omdat het leuk is om wat mee te spelen en mooie patronen te maken. Maar op een gegeven moment begon het interessant te worden om structuren te maken met eenvoudige regels. Op kleine schaal zouden die eenvoudig zijn, maar op grote schaal veel complexer. Dat is uiteindelijk ook wat je in de wereld ziet: we geloven dat de regels daarvan uiteindelijk ook heel simpel zijn. Terugkijkend denk ik dat ik daar toen al wel zo mee bezig was. Maar ik vond het ook gewoon leuk.”
Inmiddels bent u afgedwaald naar heel andere onderwerpen. Hoe is dat zo gekomen?
“Mijn promotieonderzoek in Cambridge ging nog wel over meetkunde. Terwijl ik aan dat promotieonderzoek werkte dacht ik: ik heb toch drie jaar voor mijn onderzoek, laat ik ook wat vakken volgen die helemaal niks met mijn onderzoek te maken hebben. Toen heb ik vakken gevolgd in logica, kosmologie, algemene relativiteitstheorie en kwantummechanica. Die laatste drie vond ik helemaal geweldig. Prachtig.”
U hebt aan veel verschillende onderwerpen gewerkt. Van meetkunde tot het universum, om maar een grote te noemen (Penrose lacht). Denkt u dat uw wiskundige kijk op deze onderwerpen veel heeft toegevoegd?
“Ja, zeker, de wiskundige achtergrond was heel belangrijk voor me. Het gaf me net een andere invalshoek waarmee ik naar dingen keek.”
Zoals in het geval van de tweelingparadox waar u het in uw lezing over had?
“Inderdaad.”
Penrose legde in zijn lezing uit dat de tweelingparadox helemaal geen paradox is, als je er meetkundig naar kijkt. De tweelingparadox is een gedachte-experiment over twee tweelingbroers, waarvan één astronaut is. De astronaut vertrekt op een verre ruimtereis, met een raket die bijna met de lichtsnelheid reist. Vanwege de enorme snelheid die de raket heeft, volgt uit Einsteins relativiteitstheorie dat de tijd in de raket trager verloopt dan op aarde.
De astronaut zal dus jonger zijn dan zijn broer als hij terugkeert. Maar in de relativiteitstheorie kun je ook de raket als oriëntatiepunt nemen, en beredeneren dat de aarde er met enorme snelheid vanaf beweegt. Daarom zal juist dáár de tijd trager moeten gaan, en zal de broer die thuisblijft jonger zijn. Omdat het niet het geval kan zijn dat ze bij thuiskomst allebei jonger zijn dan de ander, is dit een paradox.
De ruimtetijd waarin de broers zich bewegen kun je weergeven als een vierdimensionale grafiek, met als vierde dimensie tijd. De ene broer kun je in de grafiek tekenen als een rechte lijn tussen twee verschillende tijdstippen maar met dezelfde locatie (of bijna dezelfde locatie; de beweging van de aarde is verwaarloosbaar ten opzichte van de reis van de astronaut). De andere broer begint en eindigt op dezelfde locatie en hetzelfde tijdstip als de thuisblijver, maar maakt een flinke omweg.
Penrose: “Het is alsof je twee lijnen bekijkt, waarvan één helemaal recht en de ander een beetje kronkelig. In Euclidische meetkunde, waar iedereen aan gewend is, moet altijd gelden dat de rechte lijn de kortste is. Maar als je een andere meetkunde kiest, hoeft dat helemaal niet. Dan blijkt: het is geen paradox of puzzel, het is gewoon meetkunde.”
“Dit is niet iets wat ik bedacht heb, hoor. Het idee om tijd weer te geven als vierde dimensie is afkomstig van de wiskundige Hermann Minkowski. Einstein vond dat eerst maar niks. Maar na verloop van tijd zag hij in dat het juist een erg handige weergave was. Het was essentieel dat Einstein hier van overtuigd raakte, want daardoor kon hij zijn algemene relativiteitstheorie formuleren.”
U bent er vast zelf helemaal in getraind om de meetkundige weergave op verschillende manieren te kunnen zien.
Afbeelding: © Creative Commons
“Zeker. Ik herinner me nog een bijeenkomst in de Verenigde Staten, met een aantal wiskundigen. Er was een aantal vooraanstaand wiskundigen en natuurkundigen aanwezig. Ik gaf een reeks lezingen. Op een gegeven moment had ik het over wat er gebeurt nadat sterren ineen storten. Daar wist men toen nog weinig van. Inmiddels is het geaccepteerd dat er dan een zwart gat kan ontstaan.”
Een zwart gat is een enorme massa waaraan zelfs licht niet kan ontsnappen. De afstand waarop de gravitatiekracht van het zwarte gat zó groot is dat niets er meer aan kan ontsnappen, wordt de waarnemingshorizon genoemd.
Penrose: “Ik sprak daar over de waarnemingshorizon, en legde uit dat je ruimte en tijd ook binnen die horizon nog gewoon glad kunt doortrekken. Als je er in een Euclidische meetkunde-achtige weergave naar kijkt kan dat niet. In een andere weergave wel. Ik dacht dat de wiskundigen bij die bijeenkomst dit gemakkelijk zouden begrijpen. Maar ze waren stomverbaasd, en hadden nog nooit eerder zoiets gezien.”
U hebt ook wel eens in interviews gezegd dat u experimenten heel belangrijk vindt. Dat klinkt vreemd, uit de mond van een wiskundige.
“Ja, maar het spreekt elkaar niet tegen. Ik denk dat de manier waarop de wereld in elkaar steekt deep down heel wiskundig is. Maar het is zo makkelijk om de verkeerde wiskunde te doen. Neem als voorbeeld de snaartheorie. Het originele idee is heel mooi, maar langzamerhand wordt het onderwerp nu steeds lelijker, vind ik. Maar dat is niet het punt. Waar het om gaat, is dat er geen observaties zijn om het te verdedigen. Er zijn veel mensen die er aan werken, en ik ben blij dat ze dat doen. Dat heeft veel impact gehad. Maar het is pure wiskunde. Ik vind het jammer dat niemand eens een stap terug doet en bedenkt dat de realiteit misschien heel anders is.”
Gelooft u in snaartheorie?
“Zoals die nu bestaat niet.”
U hebt hier vandaag een lezing gegeven ter gelegenheid van de oprichting van een nieuwe organisatie: Platform Wiskunde Nederland. Die organisatie vertegenwoordigt twee bestaande wiskundeverenigingen, zodat er één aanspreekpunt is. Onder andere om te proberen om het imago van wiskunde te verbeteren. Is dat imago in Groot-Brittanië ook zo slecht?
“Oh ja, als je wiskunde doet ben je een beetje raar. Vooral als je het leuk vindt. Ik ben altijd al heel geïnteresseerd geweest in meetkunde. Helaas doen wiskundigen weinig met het visuele aspect ervan. In een populariserende lezing willen mensen juist veel plaatjes, maar tijdens een college vinden ze het maar niks. Zo denken ze niet. Zelf teken ik altijd alles. Ook bij mijn werk aan kosmologie. De tekeningen zijn heel belangrijk voor me.”
Sir Roger Penrose vertelde in zijn lezing verder ook over het onderwerp van zijn nieuwste boek, Cycles of time: an extraordinary new view of the universe. In dit boek claimt hij dat er voor de oerknal ook al tijd bestond. Meer over dit onderwerp kun je lezen in het Kennislinkartikel Het verleden is een ander heelal.
Meer over Roger Penrose op Kennislink:
"
