Abelprijs 2012 voor ‘mestere minták’

Abelprijs 2012 voor ‘mestere minták’:
Sommige wiskundigen zijn beroemd omdat ze één grote stelling hebben bewezen. Andere wiskundigen zijn beroemd om véél resultaten, meer dan heel erg diepe resultaten. Slechts weinigen zijn beroemd om beide redenen. Endre Szemerédi behoort tot die laatste, zeldzame categorie. Hij publiceerde meer dan 200 artikelen én heeft twee grote stellingen op zijn naam staan: de Stelling van Szemerédi en Szemerédi’s Regulariteitslemma.

Endre Szemerédi, winnaar van de Abelprijs 2012. Afbeelding: © Erlend Aas

Szemerédi’s stelling: een goudmijn?

Szemerédi was een meester in het ontdekken van patronen in getallenrijen. De stelling die zijn naam draagt, gaat over rekenkundige rijen. Dat zijn getallenrijtjes met de simpelst denkbare regelmaat: er wordt steeds hetzelfde getal bij opgeteld. Bijvoorbeeld 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39 is een rekenkundige rij van lengte 7 met stapgrootte 6.
Het volgende gedachte-experiment helpt om Szemerédi’s stelling te begrijpen. Je doet mee aan een spelshow, waarbij de quizmaster jou twee getallen geeft: een klein getal, bijvoorbeeld 5, en een groot getal, bijvoorbeeld 1000. Jouw taak is om een serie getallen tussen 1 en 1000 te noemen, zónder dat daar 5 getallen tussen zitten die een rekenkundige rij vormen. Als je daarin slaagt, is de prijs die je wint het percentage genoemde getallen van 1000 (het grote gegeven getal), uitgekeerd in kilogrammen goud (ter info: 1 kilo goud heeft een waarde van zo’n 40.000 euro).
Een eenvoudige opgave, niet? Dus als je de getallen 2, 50, 126, 248, 481, 701, 922 en 965 noemt (acht getallen die inderdaad geen rekenkundige rij van lengte 5 bevatten), dan krijg je 0,8 kilogram goud (immers, 8 van 1000 is 0,8%). Niet slecht, en als je slim speelt kan de hoeveelheid goud nog veel groter worden: je kunt makkelijk méér dan acht getallen noemen zonder dat een rekenkundige rij van lengte 5 ontstaat.

De twee door de quizmaster gegeven getallen zijn bij elke aflevering weer anders. Natuurlijk geldt: hoe groter het kleine getal, hoe beter. Een korte rekenkundige rij is immers sneller gemaakt dan een lange, en rekenkundige rijen wil je vermijden. Is het ook gunstig als het grote getal ‘heel erg groot’ is? Is het bijvoorbeeld voordelig als het grote getal 10¹⁰ (een 1 met tien nullen) is? Enerzijds biedt het je de mogelijkheid om erg veel getallen op te noemen, anderzijds duurt het langer voordat de prijs iets voorstelt: als je vijfhonderd getallen opnoemt, is je prijs 0,000005 kilo goud (immers, 500 van 10¹⁰ is 0,000005%), ofwel 0,005 gram. Dat is beslist geen vetpot.
Szemerédi’s stelling geeft antwoord op de laatste vraag: is het gunstig als het grote getal ‘heel erg groot’ is? Het antwoord is nee: de hoeveelheid goud die je kunt winnen, wordt alsmaar kleiner met het toenemen van het grote, gegeven getal. Als je het kleine gegeven getal noteert met k, het grote met g, en S(k, g) schrijft voor het grootste aantal getallen tussen 1 en g dat je kunt opnoemen zonder dat er een rekenkundige rij van lengte k ontstaat, dan geldt dat S(k, g) een heel klein percentage van g is. Hoe klein? Zo klein als je wilt, zo bewees Szemerédi. Als g maar groot genoeg is.
Dus, als de omroep vanwege bezuinigingen niet meer dan 3 milligram goud (dat is 0,000003 kilogram) wil weggeven als prijs, dan garandeert Szemerédi’s stelling dat dit mogelijk is: er bestaat een g zodanig dat je niet meer dan 0,0003g getallen kunt opnoemen (0,0003g is 0,000003% van g). Die waarde van g kan gigantisch groot zijn en hangt natuurlijk af van k, het kleine getal dat de quizmaster geeft. Maar dat doet er niet toe: hij bestaat, en daar gaat het om.

Szemerédi’s stelling: who cares?

De spelshow, die dus lang niet zo lucratief hoeft te zijn als die op het eerste gezicht lijkt, is maar een gedachte-experiment en het is niet waarschijnlijk dat John de Mol het spelletje zal aanspreken om daadwerkelijk te produceren. Zijn er situaties in het leven van alledag waarbij de Stelling van Szemerédi wél nuttig is? Waarschijnlijk niet. En als zo’n situatie er al zou zijn, dan zou de benodigde waarde van g wel eens groter kunnen zijn dan het aantal atomen in het heelal, ver boven ons voorstellingsvermogen dus. Waarom wordt Szemerédi’s stelling dan zo belangrijk gevonden door wiskundigen?
Wiskundigen omschrijven hun vak vaak als ‘mooi’ – de schoonheid ervan is voor hen belangrijker dan de toepasbaarheid. Het contrast tussen de eenvoud van wat Szemerédi’s stelling zegt en de moeilijkheid van het bewijs, is wat veel wiskundigen aanspreekt. Het is als met de beroemde Laatste Stelling van Fermat, die een kind kan begrijpen maar waarvan het bewijs uit zeer moeilijke, alleen door experts te lezen wiskunde bestaat.
Een ander argument is dat Szemerédi’s stelling, ondanks het gebrek aan een alledaagse toepassing, wel wiskundige toepassingen heeft. Het door Szemerédi gegeven bewijs bevat namelijk een arsenaal aan wiskundige technieken die een enorme stimulans voor de hele wiskunde hebben betekend.

Viering van de Abelprijsuitreiking in Oslo. Afbeelding: © Eirik Furu Baardsen

Abelprijs

De Abelprijs wordt jaarlijks uitgereikt aan een wiskundige die een plaats verdient in het pantheon van grote wiskundigen. Qua status is de prijs vergelijkbaar met de Nobelprijs, die voor de wiskunde niet bestaat. De prijs is dit jaar voor de tiende keer uitgereikt. Na toespraken van Ragni Piene, dit jaar voorzitter van de Abelprijscommissie, en Nils Chr. Stenseth, voorzitter van de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren, overhandigde koning Harald V de prestigieuze prijs aan Szemerédi. Aansluitend was er een receptie.
Morgen staat er een symposium op het programma. Dan zal de kersverse winnaar een voordracht geven over ‘zijn wiskunde’. Bovendien zijn er lezingen van enkele andere prominenten uit de wiskunde: Avi Wigderson, László Lovász en Timothy Gowers.

Voor dit artikel is gebruik gemaakt van The Work of Endre Szemerédi (klik hier voor een pdf) geschreven door W.T. Gowers.

Kennislinkartikelen over de Abelprijs: