Een tot nu toe onmogelijke berekening, het rechtstreeks berekenen van de oppervlakte van een zogeheten Sierpinski tapijt, een fractal, is nu voor het eerst in de geschiedenis exact gelukt. Er is alleen één maar. De schoolboekjes zouden wel eens herschreven moeten kunnen worden, want hiervoor gebruikte de ontdekker een nieuwe soort wiskunde.
Oneindigheden bezorgen wiskundigen hoofdbrekens
Voor wiskundigen is omgaan met oneindigheden erg lastig. Oneindigheden komen vaak voor in wiskundige vraagstukken, denk bijvoorbeeld aan het aantal denkbare getallen tussen nul en één of alle iteraties in een fractal. Een nieuw type wiskunde stelde de uitvinder daarvan nu in staat, de oppervlakte van een Sierpinski tapijt te berekenen.
![Het Sierpinski tapijt na enkele stappen. De exacte oppervlakte berekenen was tot nu toe onmogelijk. Bron: [1]](http://www.visionair.nl/wp-content/uploads/2012/03/Sierpinski-carpet.gif "Sierpinski carpet")
Het Sierpinski tapijt na enkele stappen. De exacte oppervlakte berekenen was tot nu toe onmogelijk. Bron: (1)
Stel je voor, je neemt een vierkant stuk papier. Je verdeelt het in negen kleinere vierkantjes en je knipt het middelste vierkant er uit. Deze procedure herhaal je met de overgebleven vierkantjes tot in het oneindige. Wat je uiteindelijk krijgt is een zogeheten Sierpinski tapijt, een tweedimensionale fractal met oneindig veel gaatjes. Er is ook een driedimensionale variant, de Menger spons. Wiskundig levert het berekenen van de inhoud van de Menger spons vergelijkbare moeilijkheden op als de oppervlakteberekening van het Sierpinski tapijt.
Oppervlakte alleen indirect te berekenen
De oppervlakte van een Sierpinski tapijt is, afhankelijk van het aantal iteraties, (8/9)n. Omdat de noemer van deze breuk sneller toeneemt dan de teller, denken wiskundigen dat de oppervlakte na een oneindig aantal iteraties nul moet zijn. Wiskundig uitgedrukt:
. Een rechtgeaarde wiskundige voelt zich hier niet lekker bij. Immers: dit is geen rigide, formele afleiding.Ook kunnen wiskundigen niet het gedrag van bijvoorbeeld de Sierpinski driehoek bestuderen omdat limieten trekken een nogal destructieve procedure is. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk vanaf de einduitkomst terug te rekenen naar de oorspronkelijke fractal. Met andere woorden: één eindresultaat kan verschillende beginuitkomsten hebben. Een absurd resultaat in dit geval. Maar helaas. Rechtstreeks berekenen gaat niet, omdat wiskundigen daar niet de geschikte wiskunde voor hebben.
Rekenen met oneindig
Of liever gezegd: niet hadden. Yaroslav Sergeyev, een wiskundige verbonden aan de Universiteit van Calabrië in Italië is er in geslaagd dit probleem op te lossen met een nieuw type door hem ontwikkelde wiskunde: infinity computing. Het idee hierachter: vervang oneindig door een nieuw getal, dat Sergeyev grossone noemt, wat hij noteert als een één met een rondje er om heen:
. Hij voegt een nieuw axioma aan de getallentheorie toe, het “oneindige eenheid axioma”, wat er op neerkomt dat naast de natuurlijke getallen, ook het oneindige getal grossone voorkomt. Omdat grossone zich net zo gedraagt als andere getallen in de getallentheorie kan je er mee optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zoals dat ook kan met andere reële getallen. Zo wordt rekenen met oneindigheden opeens een stuk makkelijker. Sergeyev gebruikt hiervoor een (gepatenteerde) rekenmethode die hij de ”infinity computer” noemt. Hierin is het extra axioma ingebouwd en kan er echt gerekend worden met oneindig en infinitesimaal kleine waarden.Oneindig min één
Om de kracht van zijn methode te demonstreren, rekende hij ermee aan het Sierpinski tapijt. Hij kan nu bijvoorbeeld teruggaan tot één stap voor oneindig (grossone-1). Zo kan hij toch onderscheid maken tussen een berekening die start met een vierkant met een gat erin (dus waarbij stap 1 plaats heeft gevonden) en een vierkant zonder gat. Als een vierkant zonder een gat grossone iteraties vergt, kost een vierkant met een gat grossone-1 iteraties. Hiervoor was dit onmogelijk bij te houden.
De universiteit van Calabrië ligt niet ver van de stad Elea (in de naburige provincie Campania) waar de Griekse filosoof Zeno zijn beruchte paradoxen met oneindigheden bedacht. Misschien is het passend dat in dezelfde regio waar het spook der oneindigheden werd opgeroepen, het ook getemd wordt. Helaas met een commercieel sausje, zie [2].
Bronnen
1. Yaroslav Sergeyev, Evaluating The Exact Infinitesimal Values Of Area Of Sierpinski’s Carpet And Volume Of Menger’s Sponge, ArXiv, 2012
2. Infinity Computer
Om de kracht van zijn methode te demonstreren, rekende hij ermee aan het Sierpinski tapijt. Hij kan nu bijvoorbeeld teruggaan tot één stap voor oneindig (grossone-1). Zo kan hij toch onderscheid maken tussen een berekening die start met een vierkant met een gat erin (dus waarbij stap 1 plaats heeft gevonden) en een vierkant zonder gat. Als een vierkant zonder een gat grossone iteraties vergt, kost een vierkant met een gat grossone-1 iteraties. Hiervoor was dit onmogelijk bij te houden.
De universiteit van Calabrië ligt niet ver van de stad Elea (in de naburige provincie Campania) waar de Griekse filosoof Zeno zijn beruchte paradoxen met oneindigheden bedacht. Misschien is het passend dat in dezelfde regio waar het spook der oneindigheden werd opgeroepen, het ook getemd wordt. Helaas met een commercieel sausje, zie [2].
Bronnen
1. Yaroslav Sergeyev, Evaluating The Exact Infinitesimal Values Of Area Of Sierpinski’s Carpet And Volume Of Menger’s Sponge, ArXiv, 2012
2. Infinity Computer
